Позиционные системы счисления

Для изображения (или представления) чисел в настоящее время используются в основном позиционные системы счисления. Привычной для всех является десятичная система счисления. В этой системе для записи любых чисел используется только десять разных знаков (цифр): 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Эти цифры введены для обозначения первых десяти последовательных чисел, а следующее число 10 и т.д. обозначается уже без использования новых цифр. Однако введением этого обозначения сделан важный шаг в построении системы счисления: значение каждой цифры поставлено в зависимость от того места, где она стоит в изображении числа.

Таким образом, система называется позиционной, если значение 1 каждой цифры (ее вес) изменяется в зависимости от ее положения (позиции) в последовательности цифр, изображающих число.

Десятичная позиционная система счисления основана на том, что десять единиц каждого разряда объединяются в одну единицу соседнего старшего разряда. Таким образом, каждый разряд имеет вес, равный степени 10. Например, в записи числа 343.32 цифра 3 повторена три раза, при этом самая левая цифра 3 означает количество сотен (ее вес равен 102); цифра 3. стоящая перед точкой, означает количество единиц (ее вес равен 10 ), а самая правая цифра 3 — количество десятых долей единицы (ее вес равен 10).

Число К единиц какого-либо разряда, объединяемых в единицу более старшего разряда, называют основанием позиционной системы счисления, а сама система счисления называется К-ичной. Например, основанием десятичной системы счисления является число 10; двоичной — число 2; троичной — число 3 и т.д.

Числа можно записать как суммы степеней не только числа 10, но и любого другого натурального числа, большего 1. Например, в Древнем Вавилоне использовалась система счисления с основанием 60. Деление часа на 60 минут, а минуты на 60 секунд заимствовано именно из этой системы счисления. А то, что человечество выбрало в качестве основания системы счисления число 10, вероятно, связано с тем, что природа наделила людей десятью пальцами.

Все известные позиционные системы счисления являются адди­тивно-мультипликативными. Особенно отчетливо аддитивно-мультипликативный способ образования чисел из базисных выражен в числительных русского языка, например пятьсот шестьдесят восемь (т.е. пять сотен плюс шесть десятков плюс восемь).

Арифметические действия над числами в любой позиционной системе счисления производятся по тем же правилам, что и в десятичной системе, так как все они основываются на правилах выполнения действий над соответствующими полиномами, при этом нужно только пользоваться теми таблицами сложения умножения, которые имеют место при данном основании системы счисления.

Во всех позиционных системах счисления с любыми основанием К умножения на числа вида C1 , где т — целое число сводится просто к перенесению запятой у множимого на т разрядов вправо или влево (в зависимости от знака т), так же как и десятичной системе.

Для указания того, в какой системе счисления записано число, условимся при его изображении основание системы счисления указывать в виде нижнего индекса при нем, например, 35.648.

Добавить комментарий